翌日上午八点,国决第二场开考。
第一题是道数论题,题目是这样的:
1
1-1
1-2-1
1-3-3-1
1-4-6-4-1
1-5-10-10-5-1
1-6-15-20-15-6-1
......
1、求第2019行数字之和;
2、取上述数字中的前100横作为模型,按某种特定规律向上或向下移动此模型中的任意列数字串,使得:移动后形成的模型,其前100横数字之和形成的数列an中,拥有最多项的斐波那契数。
3、求an的表达式。
这个看起来像黑客帝国里电脑代码的东西,就是杨辉三角,也被称作帕斯卡三角形。
对于杨辉三角,相信每一个高中生都不陌生,甚至不止是高中生,就连小学生也都接触过杨辉三角。
不信回去翻翻小时候的寒暑假作业,里面一定就有关于杨辉三角的思考题,一般都是观察数字排列规律,要求推算出三角里的某一个数字。
当然,小学生只能做出简单的杨辉三角,像是要求第2019项数字之和,这种靠纯推算,那就是算到死都算不出来的!
只能用杨辉三角的求和公式:第n行数字和为2n-1。
得出来的答案是22018。
第一问纯属送分题,能坐在国决赛场教室里的人,是绝不可能不知道杨辉数列的求和公式的。
难点在后面。
第二问,取杨辉三角的前100横作为模型,要求以特定规律上下移动模型中的任意列数字串,在移动后形成的新模型中,再取前100行数字之和形成新的数列an项中,使an的集中拥有最多的斐波那契数。
张伟抓着脑壳,感觉有点无从下手。
这第二问属于一个开放性的问题——还是放得超级开的那种开放性!而也正是因为这种开发性,才使得这一问非常的难!
一百列数字串,选择任意任意上下移动,这两个“任意”一组合,特么得有上亿种移动方案啊!
上亿种啊!
再加上每一次移动后,跟着还要运算100次才能得到an的所有项,也就是说要把全部移动方式下的an一一罗列出来,你需要经行100000000000次运算!
而且还是多项运算!
如果真的用这种罗列的傻办法解这道题,别说四个半小时了,就是给你四个半辈子你都算不出答案!
所以,这一题一定是有什么捷径的,否则这道题根本就是反人类嘛!
张伟先理了一下思路:第二问的第一步,应该得先确定如何移动数字串,因为只有先移动了数字串之后,an的集才是固定;而只有an的集固定以后,才能确定这个集里面究竟有多少个斐波那契数。
那么问题就来了,究竟该如何移动数字串呢?
这是个问题......
张伟把所有他想得到的数论知识点,逐一在脑子里面过了一边:
欧几里德的质数无限证明?倒是跟质数有关,但是跟这一题风马牛不相及啊;
中国剩余定理?用在这一题面前,倒是显得挺剩余的;
欧拉定理和费马小定理?高斯的二次互反律?或者无穷递降法?这些更是相去甚远......
“没道理啊!”快半个小时过去了,张伟还是束手无策,“第一题就这么难,这是存心不让人活了?”
百思不得其解的张伟,稍稍瞄了一下教室里其他的考生:一个个抓耳挠腮的,卷面同样是空空如也。
“看来辣鸡的不止我一个啊......”看到其他人和自己同样“辣鸡”,张伟心里就好受多了,“要不这题先放放?”
看看时间,还有四分钟就半个小时,张伟决定再试这最后四分钟。
前面顺着走怎么都走不通,张伟这次决定要反着走试试,大胆假设,小心求证:先大胆的假设,an的集就是有斐波那契数列的前100项!
张伟先把an的前十罗列出来:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55.
再按照假设的an值来移动数字串:a1=1,不用移动;a2=1,第2列要往下移动1格;a3=2,第3列要往下移动2格;a4=3,第4列要往下移动3格......
刚移动了三下,好像就有规律了!将每一列都往下移动n-1格?
张伟按照这种规律,继续往下移动尝试着:
第5列往下移动5-1=4格,得到a5=5,符合!
第6列往下移动6-1=5格,得到a6=8,符合!
第7列往下移动7-1=6格,得到a7=13,还是符合!
第8列、第9列、第10列......
张伟一直移动到20列,全都符合!
答案出来了:按照“每一列数字串都往下移动n-1格”的规律移动数字串,移动后形成的模型,其前100横数字之和形成的数列an中的项,全部是斐波那契数!
第二小问,搞定!
第二问找到正确的规律,第三问在第二问的基础上,基本就属于送分题了:
f(1)=C(0,0)=1。
f(2)=C(1,0)=1。
f(3)=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f(4)=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f(5)=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f(6)=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F(7)=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m)(m<=n-1-m)
第三问也搞定,打完收功,第一题21分——到手!
看看时间,8:46,才用了不到一个小时!再看看隔壁左右的考生,还是都对着空空如也的卷子抓耳挠腮在!
前方人员在抓耳挠腮;
左方人员在抓耳挠腮;
右方人员在抓耳挠腮;
后方人员在抓耳......不对啊!
张伟猛地一回头,又看到了昨天那位大叔!
刘干事和张伟大眼瞪着小眼。
“考试的时候不准东张西望!”刘干事把脸一板,假装从张伟身边路过......
又见路过——不管张伟信不信,反正刘干事自己是信了......