第一百一十章 IMO第一场(1/1)

如果在华山论剑上,郭靖看到欧阳锋使街头混混打架用的王八拳会作何感想?他一定会觉得这是欧阳锋在扮猪吃老虎——妥妥的有诈啊!

而此时的张伟就面临着这种情况——在IMO赛场上遇见高中课外作业级数的题目,这让张伟不得不怀疑其中有诈啊!

抱着怀疑的态度,张伟又把题审了一遍,得出的结论还是——太特么简单了!

再审一遍——还是很简单啊!

然后张伟就迷茫了。

他转头瞟了一眼隔壁桌的黑人兄弟——看黑人兄弟对着第一题抓耳挠腮的模样,这题应该是有难度的吧?

“难道是发错卷子了?”虽然这种可能性几乎没有,但比起让他相信IMO的考题就是特么这么简单,张伟倒更愿意相信自己是真的拿错卷子了!

纠结了半天,张伟最后还是没有选择做题,而是举手向监考老师示意了。

等监考老师过来,张伟吵着一口London英语向美国监考老师问到:“老师,请你帮我看一下,我是卷子是不是发错了。”

结果监考老师根本就不看张伟的卷子,直接回答道:“各支队伍的考卷都是由你们自己的领队翻译的,如果真的有错误,那也是你们领队翻译的错误。”

得了,直接把锅甩到刘干事头上了,但问题是现在也没办法拿着卷子去向刘干事求证啊!

“希望是我想多了吧......”如今这状况,张伟也只能这样安慰自己了。

再次把第一题从头到尾逐字逐句的审了一遍,在确定这一题就是特么这么简单之后,张伟无奈的开始下笔作答了:

“设两圆圆心为O,过O做OM垂直于BC......推理可知:

BC2+CA2+AB2

=BC2+(PC2+PA2)+(BP2+PA2)

=BC2+PC2+BP2+2PA2

=4(R2-t2)+2(R2+r2)-4t2+2PA2

=6R2+2r2

故表达式取值的集合为{6R2+2r2}.”

搞定第一问,用时不到十分钟!但是你以为光只有第一问简单吗?不,第二问更简单!

“过A作直线平行于CB,交大圆周于D及F两点,易见PBFA为一矩形,因此线段AB的中点也就是线段PF的中点。当B在大圆周上变动一周时,F也在大圆周上变动一周。这说明,轨迹是以线段OP的中心为圆心,以R/2为半径的一个圆周。”

第二问用时比第一问更短!

而做完整个第一题的耗时,特么还没有张伟刚才用来“怀疑人生”的时间长!

抱着忐忑的心情和怀疑的心态,张伟继续做第二题——第二题是道数论。

张伟记得单飞曾经说过,在高中奥数比赛中,最难的题目类型就是数论,其上限极高,可以难的让人怀疑智商放弃人生。

不过如今摆在张伟面前的这道数论题,很显然浪费了这种难度上限。

比第一题难——但也就是仅此而已。

虽然觉得题目太简单这种心态听起来挺贱的,但张伟就是忍不住啊!

第二题比第一题难一些,这次张伟用了二十多分钟。

然后是最后的压轴题,是道函数题。

将题目审了一遍——嗯,终于有点难度了,而且难度较之前面两题,一下子拔得非常高!

“这才有点奥数竞赛的样子嘛!”审了一遍题没找到思路,但这下反而让张伟安心了不少。

难——这才是奥数竞赛应该有的样子不是么?

摆正姿势摆正心态,张伟开始对第三题进行深入的审题:

N为正整数集.在N上定义函数?如下:

?(1)=1,?(3)=3,且对n∈N有

?(2n)=?(n),

?(4n+1)=2?(2n+1)-?(n),

?(4n+3)=3?(2n+1)-2?(n).

问:有多少个n∈N,且n≤1998使得?(n)=n?

这题给出的条件还是非常多的,但是数学这东西,有时候已知的条件多,可并不见得是好事。

排除纯粹作为无用干扰项的可能,已知条件越多,通常意味着接下来的运算或者推理过程越复杂。

这一题就是个典型。

张伟没有上来就找公理定律什么的,他觉得这一套在这里行不通。

他通过题目已知的几个函数等式,先列举出了一段结果,即在给出n的数值的情况下,算出对应?(n)的数值:

n1234567891011121314151617

?(n)113153719513311715117

如果换了普通人,看到这张表恐怕会更加懵逼,因为这看起来只是两串杂乱的、毫无规律的数字。

但是这两串数值真的是毫无规律吗?

数学有一种独特的美,这种美叫做“规律”;而数学的美往往隐藏的如此之深,让一般人根本无从发现。

很多人因为发现不了数学之美而厌弃数学,而也有极少数的人长了一双善于发现数学之美的眼睛,他们因此而爱上了数学!

张伟不确定自己有没有爱上数学,但他很确定自己有一双发现数学之美的眼睛:

?2k=1,?2k-1=2k-1,?2k+1=2k+1

没有公式,没有定理,只能用一双眼睛,用数学归纳法来找到这种规律:?(n)的值是将n用二进制形式表示,再将他反向得到的二进制数值(例如11=1011,?(11)=1011=13)。

引入二进制后,使张伟解答这道题找到了可能。

得出?(n)的规律,再在此种规律下考虑?(2n)、?(4n+1)、?(4n+3)的情形。

假设论证的过程是复杂的,但再复杂的推理计算,也必然要遵循数学的规律,掌握了这些规律,在数学的赛场上你就是神!

由?(2n)=?(n)可知?2k=1成立;

假设n=4m+1的形式,设:4m+1=......与猜想吻合。

假设n=4m+3的形式,设:4m+3=......与猜想吻合。

故证明猜想。

在这场数字的游戏中,张伟如神祇一般操控着一切,将纷繁的局面抽丝剥茧,大胆假设、小心求证,最后终于得出结论:

现在我们找出1到1988之间有多少数的二进制是左右对称的,由于1024<1988<2048,所有1位到11位的二进制数中能表示左右对称的数有:1+1+2+2+4+4+8+8+16+16+32=94个,其中1988=(11111000100),超过1988的对称的二进制数有(11111011111),(111111111111)。所以不超过1988,?(n)=n的个数的94-2=92.

得出结论,打完收功,张伟看看时间——十点半不到!

四个半小时的考试时间,才用了刚刚好一半!

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